Первообразная и неопределеный интеграл. Их свойства

Первообразная и неопределённый интеграл

Везде ниже $⟨a,b⟩$ — промежуток произвольного вида.

Первообразной функции $f$ на $⟨a,b⟩$ называется функция $F$ такая, что

$$F^{\prime }(x)=f(x),x\in ⟨a,b⟩.$$

Теорема. Описание множества первообразных

Пусть $F$ — первообразная $f$ на $⟨a,b⟩$. Тогда $\Phi$ — тоже первообразная тогда и только тогда, когда

$$F(x)-\Phi (x)\equiv C,C\in \mathbb{R}.$$

Доказательство

• Необходимость. Пусть $F^{\prime }={\Phi }^{\prime }=f$. Тогда $\Psi =F-\Phi$ удовлетворяет ${\Psi }^{\prime }\equiv 0$. По теореме Лагранжа для любых $x_1<x_2$: $$\Psi (x_2)-\Psi (x_1)={\Psi }^{\prime }(\xi )(x_2-x_1)=0,$$ значит $\Psi \equiv C$.

---

• Достаточность. Если $\Phi =F+C$, то ${\Phi }^{\prime }=F^{\prime }=f$.

Теорема. Достаточное условие существования

Если $f\in C⟨a,b⟩$, то первообразная существует. Явный пример: $F(x)={\int }_a^{x}fdt$.

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом называется множество всех первообразных:

$$\int fdx=F+C,C\in \mathbb{R}.$$

Связь с производной и дифференциалом:

$$(\int fdx{)}^{\prime }=f,d(\int fdx)=fdx,\int dF=F+C.$$

Теорема. Линейность

$$\int (\alpha f+\beta g)dx=\alpha \int fdx+\beta \int gdx.$$

Таблица основных интегралов

Функция	Интеграл
$x^{\alpha }$, $\alpha \ne -1$	$\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \Vert x\Vert +C$
$a^x$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$\mathrm{tg}x+C$
$\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	$-\mathrm{ctg}x+C$
$\frac{1}{a^2+x^2}$	$\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C$
$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin \frac{x}{a}+C$
$\frac{1}{x^2-a^2}$	$\frac{1}{2a}\ln \Vert \frac{x-a}{x+a}\Vert +C$
$\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$	$\ln \Vert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\Vert +C$