Определение определённого интеграла Римана

Определение определённого интеграла Римана

1. Понятие разбиения и интегральной суммы

Пусть функция $f(x)$ задана на отрезке $[a,b]$. Разбиением $\tau$ отрезка $[a,b]$ называется конечная система точек:

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b$$

• Отрезки $[x_{i-1},x_i]$ называются частичными отрезками разбиения.
• Длина $i$-го отрезка: $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$.
• Мелкость разбиения (или ранг) $\lambda (\tau )$ — это длина наибольшего из частичных отрезков: $\lambda (\tau )={\max }_{1\le i\le n}\Delta x_i$.

Если на каждом отрезке разбиения $[x_{i-1},x_i]$ произвольным образом выбрана точка ${\xi }_i$, то такое разбиение называется оснащенным $(\tau ,\xi )$.

Интегральной суммой Римана для функции $f(x)$, отвечающей оснащенному разбиению $(\tau ,\xi )$, называется сумма:

$${\sigma }_{\tau }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

Геометрический смысл: Если $f(x)\ge 0$, то интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, составленной из $n$ прямоугольников с основаниями $\Delta x_i$ и высотами $f({\xi }_i)$.

---

2. Определение интеграла Римана

Определение (на языке $\epsilon -\delta$): Число $I$ называется определённым интегралом Римана от функции $f$ на отрезке $[a,b]$, если для любого $\epsilon >0$ существует такое $\delta >0$, что для любого оснащенного разбиения $(\tau ,\xi )$ с мелкостью $\lambda (\tau )<\delta$ выполняется неравенство:

$$|{\sigma }_{\tau }(f,\xi )-I|<\epsilon$$

Определение (по Гейне, через последовательности): Число $I$ является интегралом Римана от функции $f$ на $[a,b]$, если для любой последовательности оснащенных разбиений $({\tau }^m,{\xi }^m)$, мелкость которых стремится к нулю ($\lambda ({\tau }^m)\to 0$), соответствующая последовательность интегральных сумм сходится к $I$:

$$\underset{m\to \infty }{\lim }{\sigma }_{{\tau }^m}(f,{\xi }^m)=I$$

Функция, для которой существует интеграл Римана, называется интегрируемой по Риману на отрезке $[a,b]$ (обозначается $f\in R[a,b]$). Обозначение интеграла: $I={\int }_a^{b}f(x)dx$.

---

3. Пример вычисления по определению

Вычислим интеграл ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ по определению. Разобьем отрезок $[0,1]$ на $n$ равных частей. Длина каждого отрезка $\Delta x_i=\frac{1}{n}$. В качестве точек ${\xi }_i$ выберем сначала правые концы отрезков, а затем и левые.

Общий вид

Так можно быстро придти к формуле площади для общего случая, воспользовавшись тем, что ${\sum }_{i=0}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$¹:

$$S_{н}=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{\left(\frac{i}{n}\right)}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^{n-1}{i}^2=\frac{1}{n^3}\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$$ $$S_{в}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{n^3}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Нас интересует что происходит с этими площадями, когда $n\to \infty$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{н}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}\frac{2n^3\left(1-\frac{1}{n}\right)1\left(1-\frac{1}{2n}\right)}{6}=\frac{1}{3}$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{в}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}\frac{2n^{3}1\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)}{6}=\frac{1}{3}$$

В обоих случаях площадь под параболой стремиться к одному значению, что, в целом, ожидаемо.

Таким образом, мы можем с уверенностью сказать, что площадь под параболой на отрезке от 0 до 1 равна $\frac{1}{3}$.

Сноски

1. док-во формулы можно посмотреть тут: Как посчитать сумму квадратов n первых натуральных чисел? (можете смотреть на x1.5, перематывая простые вещи), ну или же просто доказать индукцией ↩

Ссылка на оригинал