Интегрирование иррациональных выражений

Интегрирование иррациональных функций

Иррациональная функция содержит радикалы от рациональных выражений. Ключевой принцип — рационализация: подстановкой свести интеграл к интегралу от рациональной функции.

Класс	Вид интеграла	Метод
I	$\int R\left(x,\sqrt[n]{ax+b}\right)dx$	подстановка $t=\sqrt[N]{ax+b}$
II	$\int R\left(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c}\right)dx$	тригонометрические/гиперболические
III	$\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx$	метод неопределённых коэффициентов

---

Класс I: Интегралы с линейной иррациональностью

Рассмотрим интеграл, содержащий несколько корней от одного и того же линейного выражения:

$$\int R\left(x,\sqrt[n_1]{ax+b},\dots ,\sqrt[n_k]{ax+b}\right)dx.$$

Обозначим $N=\mathrm{НОК}(n_1,\dots ,n_k)$ и сделаем подстановку

$$t=\sqrt[N]{ax+b},x=\frac{t^N-b}{a},dx=\frac{N}{a}{t}^{N-1}dt.$$

Тогда $\sqrt[n_i]{ax+b}=t^{N/n_i}$ — целая степень $t$, и интеграл принимает вид $\int \tilde{R}(t)dt$ (рациональный).

Аналогичная схема работает для рациональных функций от дробно-линейного аргумента $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$: подстановка $t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ рационализирует интеграл.

---

Класс II: Интегралы с квадратичной иррациональностью

Рассмотрим $I=\int R\left(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c}\right)dx$, $a\ne 0$.

После выделения полного квадрата $a{x}^2+bx+c=a(x+p{)}^2+q$ вид радикала определяет подстановку:

Вид радикала	Условие	Подстановка	Результат
$\sqrt{a^2-u^2}$	$\Vert u\Vert <a$	$u=a\sin t$	$\sqrt{a^2-u^2}=a\cos t$
$\sqrt{u^2+a^2}$	—	$u=a\mathrm{sh}t$ или $u=a\mathrm{tg}t$	$a\mathrm{ch}t$ или $\frac{a}{\cos t}$
$\sqrt{u^2-a^2}$	$\Vert u\Vert >a$	$u=a\mathrm{ch}t$ или $u=a\sec t$	$a\mathrm{sh}t$ или $a\mathrm{tg}t$

---

Класс III: Интегралы с многочленом в числителе

Для многочлена $P_n(x)$ степени $n$ справедливо тождество:

$$\int \frac{P_n(x)}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}dx=$$ $$=Q_{n-1}(x)\sqrt{a{x}^2+bx+c}+\lambda \int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}},$$

где $Q_{n-1}(x)$ — многочлен степени $n-1$ с неопределёнными коэффициентами, $\lambda$ — постоянная. Последний интеграл табличный (логарифм или арксинус).

Метод нахождения коэффициентов. Дифференцируем обе части тождества и умножаем на $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ — получаем линейную систему.

Пример. $\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}$

Ищем: $\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}=(Ax+B)\sqrt{x^2+2x+5}+\lambda \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}$.

Дифференцируем, умножаем на $\sqrt{x^2+2x+5}$:

$$x^2=A(x^2+2x+5)+(Ax+B)(x+1)+\lambda =$$ $$=2A{x}^2+(3A+B)x+(5A+B+\lambda ).$$

Приравниваем коэффициенты:

$$\{\begin{array}{l}2A=1\\ 3A+B=0\\ 5A+B+\lambda =0\end{array}⟹A=\frac{1}{2},B=-\frac{3}{2},\lambda =-1.$$

Табличный интеграл: $\int \frac{dx}{\sqrt{(x+1{)}^2+4}}=\ln \left|x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right|+C$.

Итог:

$$\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{x^2+2x+5}}=\left(\frac{x}{2}-\frac{3}{2}\right)\sqrt{x^2+2x+5}-\ln \left|x+1+\sqrt{x^2+2x+5}\right|+C.$$

---

Сначала надо смотреть на структуру: линейная иррациональность → подстановка корень; квадратичная → тригонометрическая/гиперболическая после выделения полного квадрата; числитель — многочлен → метод неопределённых коэффициентов.