Интеграл от рациональной функции cos x и sin x
Рассматривается интеграл
где
— рациональная функция от , ( и — многочлены от , ).
Случай 1. Один из P, Q чётный по sin x, другой нечётный — подстановка t = cos x
НУО - нечётный, а - нечётный. можно представить в виде
где , а . Подстановка приводит интеграл к виду
где — рациональная функция от .
Случай 2. Один из P, Q чётный по cos x, другой нечётный — подстановка t = sin x
Если один из многочленов , чётный по , а другой нечётный по , то подстановка рационализирует интеграл.
Доказывается аналогично случаю 1.
Случай 3. Чётно и по cos x, и по sin x — подстановка t = tg x
Если и оба не меняются при замене на или оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой (или ). При :
Интеграл принимает вид
где — рациональная функция от .
Универсальная подстановка t = tg(x/2)
Для любой рациональной функции подстановка
рационализирует интеграл. При этом:
Случаи 1–3 предпочтительнее использовать там, где они применимы: подстановки в них проще, а возникающие рациональные функции в итоге ниже степенью.
Тригонометрические полиномы
Определение и интегрирование
Функция
называется тригонометрическим полиномом порядка . Её интегрирование элементарно:
Вспомогательные формулы произведений на случай интегрирования произведения косинусов и синусов с разными углами:
).