Теорема Дирихле о сходимости тригонометрического ряда Фурье (лемму Римана считать доказанной)

Теорема Дирихле

Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, кусочно-гладкая на отрезке $[-\pi ,\pi ]$ (то есть сама функция $f(x)$ и её производная $f^{\prime }(x)$ кусочно-непрерывны). Тогда в любой точке $x\in \mathbb{R}$ её ряд Фурье сходится к значению:

$$S(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$

Доказательство:

Шаг 1

Используя интегральные формулы для коэффициентов Фурье, $n$-ю частичную сумму ряда $S_n(x)$ можно свернуть через ядро Дирихле на полуотрезке $[0,\pi ]$:

$$S_n(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }(f(x-t)+f(x+t))D_n(t)dt$$

Откуда взялось ядро Дирихле Dn(t)?

Т.к. $S_n=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$, то подставив формулы для $a_0$, $a_k$ и $b_k$ (и пусть их интегралы будут от $t$), а тажке воспользовавшись линейностью интеграла, получим:

$$S_n(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n(\cos (kx)\cos (kt)+\sin (kx)\sin (kt))\right]dt=$$ $$=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n\cos (k(t-x))\right]dt$$

т.к. $\cos (kx)\cos (kt)+\sin (kx)\sin (kt)=\cos (k(t-x))$ Определим оставшуюся сумму как ядро Дирихле:

$$D_n(u)=\frac{1}{2}+\cos (u)+\cos (2u)+\cdots +\cos (nu)$$

Этот вид можно упростить:

$$D_n(u)=\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)u}{2\sin \frac{u}{2}}$$

Возвращаясь к исходной $S_n(x)$, получаем:

$$S_n(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)D_n(t-x)dt=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x+u)D_n(u)du$$

P.S. границы интегрирования остаются на месте, т.к. $f$ и $D$ $2\pi$-периодичны. Теперь:

$$S_n(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{0}f(x+u)D_n(u)du+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x+u)D_n(u)du=$$ $$=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x-t)D_n(-t)d(-t)+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x+t)D_n(t)dt=$$ $$=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }(f(x-t)+f(x+t))D_n(t)dt$$

С горем пополам сделали это, пора вернуться к самой теореме.

Шаг 2

Интеграл от ядра Дирихле равен $\frac{\pi }{2}$, ну или же:

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)t}{\sin \frac{t}{2}}dt=\frac{1}{2}$$

Умножим это равенство на константу $(f(x+0)+f(x-0))$:

$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }(f(x-0)+f(x+0))D(t)dt$$

Шаг 3

Вычтем полусумму односторонних пределов из частичной суммы $S_n(x)$ и объединим их под один интеграл:

$$S_n(x)-\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=$$ $$=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\pi }\left[\frac{f(x-t)-f(x-0)}{\sin \frac{t}{2}}+\frac{f(x+t)-f(x+0)}{\sin \frac{t}{2}}\right]\cdot$$ $$\cdot \sin \left(n+\frac{1}{2}\right)tdt$$

Разобьем этот интеграл на сумму двух слагаемых:

$$I_1=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\pi }{F}_1(t)\sin \left((n+\frac{1}{2})t\right)dt,$$ $$\text{где }{F}_1(t)=\frac{f(x-t)-f(x-0)}{\sin \frac{t}{2}}$$ $$I_2=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\pi }{F}_2(t)\sin \left((n+\frac{1}{2})t\right)dt,$$ $$\text{где }{F}_2(t)=\frac{f(x+t)-f(x+0)}{\sin \frac{t}{2}}$$

Шаг 4

Чтобы применить лемму Римана — Лебега, нужно доказать, что функции $F_1(t)$ и $F_2(t)$ локально интегрируемы на $(0,\pi )$. Единственная возможная проблема — точка $t\to +0$, где знаменатель обращается в нуль.

Исследуем предел функции $F_2(t)$ при $t\to +0$:

$$\underset{t\to +0}{\lim }{F}_2(t)=\underset{t\to +0}{\lim }\frac{f(x+t)-f(x+0)}{\sin \frac{t}{2}}=$$ $$=\underset{t\to +0}{\lim }\left[\frac{f(x+t)-f(x+0)}{t}\cdot \frac{t}{\sin \frac{t}{2}}\right]$$

По определению правого предела производной и первому замечательному пределу (${\lim }_{t\to 0}\frac{t}{\sin (t/2)}=2$):

$$\underset{t\to +0}{\lim }{F}_2(t)=f_{+}^{\prime }(x)\cdot 2=2f_{+}^{\prime }(x)$$

Так как функция $f(x)$ кусочно-гладкая, односторонняя производная $2f_{+}^{\prime }(x)$ является конечным числом. Следовательно, функция $F_2(t)$ ограничена в окрестности нуля. На остальном промежутке $[\delta ,\pi ]$ она непрерывна, а значит, абсолютно интегрируема ($F_2\in R_{loc}(0,\pi ]$).

Аналогично для первой функции: ${\lim }_{t\to +0}{F}_1(t)=-2f_{-}^{\prime }(x)$, откуда следует, что $F_1\in R_{loc}(0,\pi ]$.

Шаг 5

Поскольку функции $F_1(t)$ и $F_2(t)$ абсолютно интегрируемы, мы можем применить к интегралам $I_1$ и $I_2$ лемму Римана-Лебега для осциллирующего множителя при частоте $\lambda =n+\frac{1}{2}\to +\infty$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_1=0\text{и}\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_2=0$$

Следовательно, разность стремится к нулю:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(S_n(x)-\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\right)=0⟹$$ $$⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(x)=\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$