Интегрирование простейших рациональных дробей

Понятия

Рациональная дробь — отношение многочленов $\frac{P(x)}{Q(x)}$. Правильная дробь: степень $P$ < степени $Q$ Любую правильную дробь можно разложить в сумму простейших дробей четырёх типов.

4 типа простейших дробей

Тип 1: A/(x-a)

$$\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+C.$$

Тип 2: A/(x-a)^k, k >= 2

$$\int \frac{A}{(x-a{)}^k}dx=A\cdot \frac{(x-a{)}^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{A}{(1-k)(x-a{)}^{k-1}}+C$$

Тип 3: (Ax+B)/(x^2+px+q), p^2-4q < 0

Выделяем полный квадрат: $x^2+px+q={\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2+a^2$, $a^2=q-\frac{p^2}{4}$. Числитель разбиваем:

$$Ax+B=A\left(x+\frac{p}{2}\right)+\left(B-\frac{Ap}{2}\right).$$

Первое слагаемое даёт логарифм (заносим $x+\frac{p}{2}$ под $dx$), второе — арктангенс:

$$\int \frac{A(x+\frac{p}{2})}{(x+\frac{p}{2}{)}^2+a^2}dx=\frac{A}{2}\ln \left((x+\frac{p}{2}{)}^2+a^2\right)+C$$ $$\int \frac{B-\frac{Ap}{2}}{(x+\frac{p}{2}{)}^2+a^2}dx=\frac{B-\frac{Ap}{2}}{a}\arctan \frac{x+\frac{p}{2}}{a}+C$$

Итоговая формула:

$$\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx=\frac{A}{2}\ln (x^2+px+q)+\frac{2B-Ap}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$$

Тип 4: (Ax+B)/(x^2+px+q)^n, n >= 2, p^2-4q < 0

Выделяем полный квадрат и делаем замену $t=x+\frac{p}{2}$, $dt=dx$, $a^2=q-\frac{p^2}{4}>0$. Тогда $(x^2+px+q)=t^2+a^2$, а числитель:

$$\int \frac{Ax+B}{(x^2+px+q{)}^n}dx=\int \frac{At+\left(B-\frac{Ap}{2}\right)}{(t^2+a^2{)}^n}dt.$$

Числитель разбит на два слагаемых — берём два отдельных интеграла.

Первый: делаем замену $u=t^2+a^2$, $du=2tdt$:

$$\int \frac{At}{(t^2+a^2{)}^n}dt=\frac{A}{2(1-n)(t^2+a^2{)}^{n-1}}+C.$$

Второй требует рекуррентной формулы. Обозначим:

$$I_n=\int \frac{dt}{(t^2+a^2{)}^n}.$$

Вывод рекуррентной формулы

Запишем $1=\frac{(t^2+a^2)-t^2}{a^2}$ и разобьём интеграл:

$$I_n=\frac{1}{a^2}{I}_{n-1}-\frac{1}{a^2}\int \frac{t^2}{(t^2+a^2{)}^n}dt.$$

Интеграл с $t^2$ в числителе берём по частям: $u=t$, $dv=\frac{tdt}{(t^2+a^2{)}^n}$, тогда $v=\frac{1}{2(1-n)(t^2+a^2{)}^{n-1}}$:

$$\int \frac{t^2}{(t^2+a^2{)}^n}dt=\frac{t}{2(1-n)(t^2+a^2{)}^{n-1}}+\frac{1}{2(n-1)}{I}_{n-1}.$$

Подставляем и собираем $I_{n-1}$:

$$I_n=\frac{t}{2a^2(n-1)(t^2+a^2{)}^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}{I}_{n-1}$$ $$I_1=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{t}{a}+C.$$

Применяя формулу $n-1$ раз, сводим всё к табличному $I_1$.

Итог: любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях — через логарифмы, арктангенс и степенные функции.