Свойства интегрируемых функций (очень много, часть выделена в отдельные вопросы)

Обязательно стоит изучить вопрос 10, прежде чем приступить к этому.

Свойства интегрируемых функций и определённого интеграла

Алгебраические свойства класса R[a, b]

Теорема

Пусть $f,g\in R[a,b]$. Тогда:

1. $\alpha f+\beta g\in R[a,b]$;
2. $fg\in R[a,b]$;
3. $|f|\in R[a,b]$;
4. если $|f|>C>0$ на $[a,b]$, то $1/f\in R[a,b]$;
5. если $[c,d]\subset [a,b]$, то $f\in R[c,d]$.

Доказательство

Колебание функции $f$ на множестве $E$:

$$\omega (f,E)=\underset{x,y\in E}{\sup }|f(x)-f(y)|=\underset{E}{\sup }f-\underset{E}{\inf }f.$$

Для любого $E$ верны неравенства:

$$\omega (\alpha f+\beta g,E)\le |\alpha |\omega (f,E)+|\beta |\omega (g,E)$$ $$\omega (fg,E)\le C(\omega (f,E)+\omega (g,E))$$ $$\omega (|f|,E)\le \omega (f,E)$$ $$\omega (1/f,E)\le \omega (f,E)/C^2$$

Далее применяется критерий Дарбу:

$$\underset{\lambda (\tau )\to 0}{\lim }(S_{\tau }(f)-s_{\tau }(f))=0.$$

Утверждение 3 необратимо: $d(x)-1/2$ неинтегрируема, но её модуль $=1/2$ интегрируем. В п.4 условие $|f|>C>0$ существенно: иначе $1/f$ может быть неограниченной.

Аддитивность по отрезку

Теорема

Если $f\in R[a,c]$ и $f\in R[c,b]$, то $f\in R[a,b]$.

Доказательство

Берём ${\tau }_1$ на $[a,c]$ и ${\tau }_2$ на $[c,b]$ с суммами колебаний $<\epsilon /2$; объединение даёт разбиение $[a,b]$ с суммой $<\epsilon$.

Интегрируемость композиции

Теорема

Если $f\in C[c,d]$, $g:[a,b]\to [c,d]$, $g\in R[a,b]$, то $f\circ g\in R[a,b]$.

Доказательство

Из равномерной непрерывности $f$ колебание $f\circ g$ мало там, где мало колебание $g$; отрезки с большим колебанием $g$ имеют малую суммарную длину.

Без непрерывности внешней функции композиция интегрируемых может быть неинтегрируемой: $\mathrm{sign}(r(x))=d(x)$.

Изменение значений в конечном числе точек

Теорема

Если у $f\in R[a,b]$ изменить значения в конечном числе точек, интегрируемость сохранится и интеграл не изменится.

Доказательство

Интегральные суммы отличаются не более чем в $2n$ слагаемых, и разность $\le 2n(C+C_1)\lambda (\tau )\to 0$.

---

Свойства определённого интеграла

Линейность

$${\int }_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha {\int }_a^{b}f+\beta {\int }_a^{b}g$$

Следует из равенства интегральных сумм и предельного перехода.

Аддитивность по промежутку

$${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f,\text{где}c\in [a,b]$$

Доказательство через разбиение, содержащее точку $c$.

Монотонность

Если $f\le g$ на $[a,b]$, то

$${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$$

Оценка интеграла

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a),\text{где}m=\inf f,M=\sup f$$

Связь интеграла от функции и интеграла от модуля

$$|{\int }_a^{b}f|\le {\int }_a^b|f|$$